厉害了国产手机 代言人对决竟比产品比拼还精彩

百度 文丨特约评论员斯远虽然我行动不便，说话需要机器的帮助，但是，我的思想是自由的。

Vektorianalyysi on matematiikan ala, joka k?sittelee vektori-kenttien differentiointia ja integrointia, p??asiassa kolmi-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}.$ Termi? vektori-analyysi k?ytet??n joskus my?s laajemmassa merkityksess? tarkoittamaan useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa, johon varsinaisen vektori-analyysin lis?ksi kuuluvat my?s osittaisderivaatat sek? integrointi useamman muuttujan suhteen. Vektori-analyysill? on t?rke? merkitys differentiaaligeometriassa ja osittaisdifferentiaaliyht?l?iden teoriassa. Sill? on runsaasti sovelluksia esimerkiksi tekniikassa, fysiikassa ja tilasto-tieteess?. Fysiikassa sit? k?ytet??n varsinkin s?hk?-magneettisten kenttien ja gravitaatiokenttien kuvailuun sek? virtaus-dynamiikassa.

Vektori-analyysin kehittiv?t kvaternioiden teorian pohjalta J. Willard Gibbs ja Oliver Heaviside l?hell? 1800-luvun loppua. Suuren osan sen termino-logiasta ja merkinn?ist? vakiinnutti Gibbsin ja Edwin Bidwell Wilsonin vuonna 1901 ilmestynyt kirja Vector Analysis. Tavan-omaisessa muodossaan, jossa k?ytet??n ristituloja, vektorianalyysi? ei voida laajentaa useampiin ulottuvuuksiin, kun taas vaihto-ehtoisessa geometriseen algebraan perustuvassa l?hestymis-tavassa, jossa ristitulon sijasta k?ytet??n ulkoista tuloa, niin voidaan tehd?.

Perusk?sitteet

Skalaarikent?t

Skalaarikentt? on funktio, joka liitt?? avaruuden jokaiseen pisteeseen jonkin skalaariarvon. Skalaari voi olla joko pelkk? matemaattinen lukuarvo tai jokin fysikaalinen suure. Sovellus-esimerkkein? skalaarikentist? voidaan mainita l?mp?tila avaruuden kussakin pisteess?, paine nesteen tai kaasun eri kohdissa ja spin-nolla-kvanttikent?t kuten Higgsin kentt?. T?llaisia kentti? k?sittelee skalaarikentt?teoria.

Vektorikent?t

Vektorikentt? on funktio, joka liitt?? avaruuden jonkin osajoukon jokaiseen pisteeseen jonkin vektoriarvon. Esimerkiksi tasossa vektorikentt?? voidaan havainnollistaa joukolla eripituisia ja erisuuntaisia nuolia, jotka alkavat tason eri pisteist?. Vektorikentill? voidaan mallintaa esimerkiksi tuulen nopeutta ja suuntaa tai muuta nesteen tai kaasun virtausta taikka voimia, esimerkiksi magneettikentt?? tai gravitaatiota, jotka eri paikoissa ovat eri suuruisia ja eri suuntaisia.

Vektorit ja pseudovektorit

Kehittyneemm?ll? tasolla erotetaan omiksi luokikseen pseudovektorikent?t ja pseudoskalaarikent?t, jotka ovat muutoin vektori- ja skalaarikenttien kaltaisia paitsi ett? ne vaihtavat etumerkki??n kuvauksessa, joka muuttaa orientaation, esimerkiksi peilikuvasa. Esimerkiksi vektorikent?n roottori on pseudovektorikentt?, ja jos vektorikentt? peilataan tason suhteen, roottori osoittaa p?invastaiseen suuntaan. T?t? eroa selvent?? ja t?sment?? geometrinen algebra j?ljemp?n? selitetyll? tavalla.

Vektorien laskutoimitukset

Algebralliset laskutoimitukset

Vektorien ei-differentiaalisia algebrallisia peruslaskutoimituksia, joita tarvitaan my?s vektorianalyysiss?, nimitet??n vektorialgebraksi. Ne on m??ritelty jokaisessa vektoriavaruudessa, ja niit? voidaan soveltaa my?s jokaiseen vektorikentt??n. Niit? ovat seuraavat:

• skalaarilla kertominen: skalaarikent?n ja vektorikent?n kertolasku, jonka tuloksena on vektorikentt?: $a\mathbf {v}$
• vektorien yhteenlasku: kahden vektorikent?n yhteenlasku, jonka tuloksena on vektorikentt?: $\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$
• pistetulo: kahden vektorikent?n kertolasku, jonka tuloksena on skalaarikentt?: $\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$
• ristitulo: kahden vektorikent?n kertolasku, jonka tuloksena on vektorikentt?: $\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$.

N?ist? yhdist?m?ll? voidaan muodostaa my?s kaksi kolmituloa:

• skalaarikolmitulo, pistetulo, jonka tekij?in? ovat vektorikentt? ja kahden muun vektorikent?n ristitulo: $\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$;
• vektorikolmitulo, ristitulo, jonka tekij?in? ovat vektorikentt? ja kahden muun vektorikent?n ristitulo: $\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ tai $\left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$.

N?it? kuitenkin k?ytet??n harvemmin kuin peruslaskutoimituksia.

Joskus m??ritell??n laskutoimituksena lis?ksi kohtisuora pistetulo (engl. perp dot product joka itse asiassa on kahden vektorin pistetulo, kun toista niit? on kierretty 90 astetta vastap?iv??n. Samalla se on n?iden vektorien ristitulon itseisarvo:

$\mathbf {v} _{1}\bot \cdot \mathbf {v} _{2}=\left|\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}\right|=\left|\mathbf {v} _{1}\right|\left|\mathbf {v} _{2}\right|\sin \theta$,

miss? θ on vektorien v₁ ja v₂ v?linen kulma. Sit? kuitenkin harvemmin k?ytet??n, koska se voidaan esitt?? my?s piste- tai ristitulon avulla.

Differentiaalioperaattorit

Vektorianalyysi tutkii erilaisia skalaari- ja vektorikentille m??riteltyj? differentiaali-operaattoreita, joista monet voidaan esitt?? nabla- eli del -operaattorin avulla ($\nabla$. Vektori-analyysin viisi t?rkeint? differentiaali-operaattoria ovat:

Operaattori	Merkint?	Kuvaus	M??rittelyjoukon tyyppi	Arvojoukon tyyppi
Gradientti	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Skalaarikent?n paikallinen muutosnopeus siin? suunnassa, jossa se on suurin	Skalaarikentt?	Vektorikentt?
Roottori (curl)	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Mittaa vektorikent?n py?rteisyytt? kunkin pisteen ymp?rill?	Vektorikentt?	(Pseudo)vektorikentt?.
Divergenssi	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Mittaa sit?, miss? m??rin vektorikent?n kentt?viivoja alkaa tai p??ttyy kunkin pisteen ymp?rill?.	Vektorikentt?	Skalaarikentt?
Laplacen operaattori vektorikentille	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Mittaa vektorikent?n tietyss? pisteess? saaman arvon ja sen t?t? pistett? ymp?r?iv?ss? infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.	Vektorikentt?	Vektorikentt?
Laplacen operaattori	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Mittaa skalaarikent?n tietyss? pisteess? saaman arvon ja sen t?t? pistett? ymp?r?iv?ss? infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.	Skalaarikentt?	Skalaarikentt?

N?m? kaikki voidaan muodollisesti esitt?? k?sittelem?ll? nabla-operaattorin komponentteja lukujen tavoin ja itse operaattoria vektorin tavoin. Esimerkiksi roottori k?sitet??n nablan ja vektorikent?n ristituloksi, divergenssi taas nablan ja vektorikent?n pistetuloksi. K?sitelt?ess? funktioita, joiden sek? m??rittely- ett? arvojoukko koostuvat useiden muuttujien yhdistelmist?, k?ytet??n usein apuna Jacobin matriisia ja determinanttia. T?m? tulee kysymykseen esimerkiksi integrointiin liittyv?ss? muuttujanvaihdossa.

Teoreemoja

Vektorianalyysiss? on useita t?rkeit? teoreemoja, jotka yleist?v?t analyysin peruslauseen useampaan ulottuvuuteen:

Teoreeman nimi	Yht?l?	Sanallinen muotoilu
Gradienttilause	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	Skalaarikent?n gradientin k?yr?integraali k?yr?n yli on yht? suuri kuin niiden arvojen erotus, jotka skalaarikentt? saa k?yr?n p??tepisteiss?.
Greenin lause	$\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Vektorikent?n skalaarisen roottorin integraali tasoalueen yli on yht? suuri kuin vektorikent?n k?yr?integraali pintaa rajoittavan k?yr?n yli, kun se kierret??n tasoalueen ymp?ri vastap?iv??n.
Stokesin lause	$\int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Vektorikent?n roottorin pintaintegraali $\mathbb {R} ^{3}$:ssa olevan pinnan yli on yht? suuri kuin vektorikent?n k?yr?integraali pintaa rajoittavan k?yr?n yli.
Divergenssilause	$\int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$ $\scriptstyle \partial V$$\mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S}$	Vektorikent?n divergenssin avaruusintegraali jonkin kappaleen yli on yht? suuri kuin kent?n vuon integraali kappaleen rajapinnan yli.

Sovelluksia

Lineaarinen approksimointi

Lineaarisia approksimaatioita k?ytet??n korvaamaan monimutkaisia funktioita lineaarisilla funktioilla, jotka saavat kaikkialla l?hes samat arvot. Mit? tahansa differentioituvaa reaaliarvoista funktiota $f(x,y)$ voidaan alueella, joka on l?hell? pistett? $(x,y)$, approksimoida kaavan

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right)$

avulla.

Yht?l?n oikealla puolella oleva lauseke on funktion $z=f(x,y)$ at $(a,b)$ kuvaajana olevan pinnan tangenttitason yht?l?.

Optimointi

Jatkuvasti differentioituvan useamman muuttujan reaalifunktion kannalta piste P (toisin sanoen joukko arvoja kullekin muuttujalle, joka k?sitet??n pisteeksi avaruudessa $\mathbb {R}$) on kriittinen, jos funktion kaikki osittais-derivaatat pisteess? P ovat nollia, mik? on yht?pit?v?? sen kanssa, ett? sen gradientti t?ss? pisteess? on nolla. Funktion kriittisiksi arvoiksi sanotaan sen arvoja kriittisiss? pisteiss?.

Jos funktio on sile? tai v?hint??n kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva, kriittinen piste voi olla joko funktion paikallinen maksimikohta, paikallinen minimikohta tai satulapiste. N?m? eri tapaukset voidaan erottaa toisistaan tarkastelemalla sen toisten derivaattojen Hessin matriisin ominaisarvoja.

Fermat'n lauseen mukaan kaikki differentioituvan funktion paikalliset maksimi- ja minimikohdat ovat kriittisi? pisteit?. Niinp? maksimi- ja minimikohtien l?yt?miseksi riitt?? teoreettisesti m??ritt?? gradientin nollakohdat ja Hessin matriisin ominaisarvot n?iss? nollakohdissa.

Fysiikka ja teknologia

Fysiikassa ja teknologiassa vektorianalyysi? k?ytet??n varsinkin seuraavissa yhteyksiss?:

• systeemin massakeskipisteen m??ritt?minen
• kentt?teoria
• kinematiikka.

Yleistyksi?

Erilaiset 3-monistot

Vektorianalyysi m??riteltiin alun perin kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa$\mathbb {R} ^{3},$, joka ei ole ainoastaan kolmiulotteinen vektori-avaruus vaan samalla my?s normiavaruus. normi merkitsee geometrisesti janan pituutta, ja se m??ritell??n sis?tulon, tarkemmin sanottuna pistetulon avulla, joka samalla m??rittelee my?s kulman. Lis?ksi siin? on m??ritelty orientaation k?site, jolla oikea- ja vasen-k?tisyys erotetaan toisistaan. N?iden struktuurien avulla voidaan johtaa tilavuusmuoto ja samalla m??ritell? vektorien ristitulo, jota vektori-analyysiss? runsaasti k?ytet??n.

Gradientin ja divergenssin m??rittelyyn riitt?? sis?tulo, kun taas roottori ja ristitulo edellytt?v?t, ett? koordinaatiston k?tisyys on otettava huomioon.

Vektorianalyysi voidaan m??ritell? muillekin kolmiulotteisille reaalisille vektori-avaruuksille, jos niiss? on sis?tulo, tai yleisemmin symmetrinen ei-degeneroitunut muoto ja orientaatio. T?llainen avaruus ei v?ltt?m?tt? ole isomorfinen euklidisen avaruuden kanssa, sill? siin? ei tarvitse olla koordinaatistoa mik? toisaalta osoittaa, ett? vektori-analyysi on invariantti avaruuden rotaatioissa, jotka muodostavat erityisen ortogonaalisen ryhm?n SO(3).

Yleisemmin vektorianalyysi voidaan m??ritell? miss? tahansa kolmiulotteisessa orientoituvassa Riemannin monistossa sek? my?s pseudo-Riemannin monistoissa. T?m? rakenne merkitsee yksinkertaisesti, ett? sen jokaista pistett? vastaavassa tangenttiavaruudessa on m??ritelty sis?tulo (tai ainakin symmetrinen ei-degeneroitunut muoto) ja orientaatio, tai globaalimmin, ett? siin? on symmetrinen ei-degeneroitunut metrinen tensori ja orientaatio. T?ll?in vektorianalyysi toimii, koska se on m??ritelty avaruuden kuhunkin pisteeseen liittyvien tangenttivektorien avulla.

Muut ulottuvuudet

Useimmat analyyttiset tulokset on yleisemm?ss? muodossa helppo ymm?rt?? k?ytt?m?ll? differentiaaligeometrian menetelmi?, joista vektorianalyysi muodostaa osajoukon. Gradientin ja divergenssin m??ritelm?t voidaan sellaisenaan yleist?? kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa, samoin Laplacen operaattori, joka johtaa harmoniseen analyysiin. My?s gradienttilause ja divergenssilause p?tev?t ulottuvuuksien lukum??r?st? riippumatta. Sen sijaan roottori ja ristitulo eiv?t yleisty yht? suoraviivaisesti.

Yleisemm?lt? kannalta erilaiset kent?t kolmiulotteisessa vektori-analyysiss? voidaan kaikki k?sitt?? k-vektorikentiksi: skalaarikent?t ovat 0-vektorikentti?, vektorikent?t 1-vektorikentti?, pseudovektori-kent?t 2-vektorikentti? ja pseudoskalaarikent?t 3-vektorikentti?. Useampi-ulotteisessa avaruudessa kentt?-tyyppej?kin on enemm?n.

Miss? tahansa useampi-ulotteisessa avaruudessa, jossa on ei-degeneroitu muoto, skalaarifunktionn gradientti on vektorikentt? ja vektorikent?n divergenssi skalaarifunktio, mutta vain 3 ja 7 ulottuvuudessa (sek? triviaalisti 0 ulottuvuudessa) vektorikent?n roottori on vektorikentt?, ja vain kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa voidaan vektorien ristitulo m??ritell?. Muissa tapauksissa tarvitaan joko $n-1$ vektoria, jotta saadaan tulokseksi yksi vektori, tai kyseess? ovat vaihto-ehtoiset Lien algebrat, jotka ovat yleisempi? antisymmetrisi? bilineaarisia tuloja. Yleisesti roottori on bivektorikentt?, joka voidaan tulkita infinitesimaalisten rotaatioiden erityiseksi ortogonaaliseksi Lien algebraksi. Sit? ei kuitenkaan voida samastaa vektorikent?n kanssa, koska sill? on eri m??r? ulottuvuuksia: kolmiulotteisen avaruuden rotaatioavaruuskin on kolmiulotteinen, mutta esimerkiksi neliulotteisen avaruuden rotaatio-avaruus on kuusiulotteinen (ja yleisesti n-ulotteisen avaruuden rotaatioavaruus on $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$-ulotteinen).

Vektorianalyysille on kaksi merkitt?v?? vaihto-ehtoista yleistyst?. Ensimm?inen, geometrinen algebra, k?ytt?? k-vektorikentti? vektori-kenttien sijasta (enint??n kolmiulotteisessa avaruudessa jokainen k-vektorikentt? voidaan samastaa skalaari- tai vektori-kent?n kanssa, mutta useammassa ulottuvuudessa t?m? ei k?y p?ins?.) T?m? korvaa vain kolmi-ulotteisessa avaruudessa k?yv?n ristitulon ulkoisella tulolla, joka on m??ritelty kaikissa ulottuvuuksissa. Kahden vektorikent?n ulkoinen tulo on t?ll?in bivektorikentt? eli 2-vektorikentt?. Algebralliselta struktuuriltaan vektoriavaruudet ovat t?ll?in Cliffordin algebroja, joissa on my?s orientaatio ja ei-degeneroitunut muoto. Geometrista algebraa k?ytet??n enimm?kseen fysiikan ja muiden sovellettujen kenttien yleistyksiin korkeammissa ulottuvuuksissa.

Toinen yleistys k?ytt?? differentiaalimuotoja (k-kovektorikentti?) vektorikenttien tai k-vektorikenttien sijasta, ja sit? k?ytet??n laajalti matematiikassa, varsinkin differentiaaligeometriassa, geometrisessa topologiassa ja harmonisessa analyysissa. Se johtaa erityisesti Hodgen teoriaan, joka k?sittelee orientoituvia pseudo-Riemannin monistoja. T?lt? kannalta gradientti, roottori ja divergenssi vastaavat 0-muotojen, 1-muotojen ja 2-muotojen ulkoisia derivaattoja, ja vektorianalyysin peruslauseet ovat kaikki erikois-tapauksia Stokesin lauseen yleisimm?st? muodosta.

Molempien yleistysten kannalta tavanomainen vektori-analyysi samastaa implisiittisesti k?sitteit?, jotka n?iss? yleistyksiss? on toisistaan selv?sti erotettava. T?m? tekeekin sen muodollisesti yksin-kertaisemmaksi mutta sen perustana olevan matemaattisen struktuurin ja yleistykset v?hemm?n selviksi. Geometrisen algebran kannalta vektori-analyysi samastaa k-vektorikent?t vektorikenttien tai skalaarifunktioiden kanssa: 0-vektorit ja 3-vektorit skalaarien, 1-vektorit ja 2-vektorit vektorien kanssa. Differentiaali-muotojen kannalta vektori-analyysi taas samastaa k-muodot skalaari- tai vektori-kenttien kanssa: 0-muodot ja 3-muodot skalaari-kenttien, 1- ja 2-muodot taas vektori-kenttien kanssa. Niinp? esimerkiksi roottorin argumenttina on luonnollisesti vektori-kentt?, mutta tuloksena 2-vektori-kentt? tai 2-muoto ja n?in ollen pseudo-vektori-kentt?, joka sitten tulkitaan vektori-kent?ksi sen sijaan ett? tuloksena saataisiin suoraan vektori-kentt?. Sen sijaan useammassa ulottuvuudessa vektori-kent?n roottoria ei voida tulkita vektorikent?ksi.

Katso my?s

• Konservatiivinen kentt?
• Harmoninen funktio
• Tensori

L?hteet

• Sandro Caparrini: The discovery of the vector representation of moments and angular velocity. Archive for History of Exact Sciences, 2002, nro 56, s. 151–181.
• Michael J. Crowe: A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition, 1967. ISBN 0-486-67910-1
• J.E. Marsden: Vector Calculus. W. H. Freeman & Company, 1976. ISBN 0-7167-0462-5
• H. M. Schey: Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company, 2005. 0-393-92516-1
• Barry Spain: Vector Analysis, 2. painos. D. Van Nostrand Company Ltd, 1965. Teoksen verkkoversio.
• Chen-To Tai: A historical study of vector analysis, Technical Report RL 915. Radiation Laboratory, University of Michigan, 1995. Teoksen verkkoversio.
• Michie Hazewinkel: ”Vector analysis”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Teoksen verkkoversio.
• Michie Hazewinkel: ”Vector algebra”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Teoksen verkkoversio.

Kirjallisuutta

• Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs: A Text-book for the Use of Students of Mathematics & Physics: Founded Upon the Lectures of J. W. Gibbs. Scribner, 1901. Teoksen verkkoversio.
• Pitk?ranta, Juhani: Calculus Fennicus : TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000-2013). Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 pdf download

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Vektorianalyysi Wikimedia Commonsissa

• Vector Calculus Video Lectures University of New South Wales, Academic Earth.
• Vector calculus in an oblique basis mc.maricopa.edu.^{[vanhentunut linkki]}
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis economics.soton.ac.uk.